转自：超级数学建模

今天，我想来讲一下 20 世纪的那一场最令人震撼的数学冲突。

那场冲突的中心人物是布劳威尔和希尔伯特。

开幕

在出场前，请容我礼貌性地介绍一下这两位大人物。

鲁伊兹・布劳威尔（Luitzen Brouwer），荷兰数学家，他否认准确交流的可能性和语言的作用，强调数学直觉，被视为直觉主义学派的创始人和代表人物，这使他对形式主义学派多多少少都有点偏见。

而戴维・希尔伯特 (David Hilbert，1862~1943) 则是一位德国著名数学家，提出了 23 个数学问题，被认为是 20 世纪数学的至高点，他被称为 "数学界的无冕之王"，是形式主义学派代表人物，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学。

其实在这一场数学冲突大爆发前，两人还是惺惺相惜的“好友”。

在 1909 年，他们在席凡宁根会面了，布劳威尔向希尔伯特展示了他的语言和数学水平，后来给一位朋友的回信中，他形容希尔伯特是“世界上首屈一指的数学家”。

而在希尔伯特眼里，布劳威尔是一个难得的数学天才，他把这种“欣赏”也放在了行动上：1912 年，希尔伯特为布劳威尔推荐了阿姆斯特丹大学的一个教授职位，1919 年，希尔伯特还给他提供了哥廷根大学的一个教授职位，这绝对是一个晋升，但布劳威尔拒绝了（在将要到来的决裂，这或许是一个原因）。

随着布劳威尔在拓扑学上的成就和他在基础数学上的观念为他赢得的成功，地位的逐渐升高，一切就不一样了。

一场战争正在滋生

1908 年，布劳威尔写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的。

排中律是一个基本的逻辑定律，也是一个常用的数学技巧，指每一个数学命题要么对，要么错，没有其他可能性。

布劳威尔不认同，他坚持认为第三种情况是存在的。

1912 年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。

他经常质疑建立在排中律基础上的数学证明，称他们是“所谓的证明”。

1920 年，他声称“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……它只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不可避免使用这个定律是缺乏数学内涵的。”

后来希尔伯特实在忍无可忍，回应道：“把排中律排除在数学之外，就像禁止拳手使用拳头。”

希尔伯特是在 23 岁时以一篇关于不变量理论的论文挤身数学界的，在这篇论文中，它使用了非构造性的证明，而他的证明正是依赖于对无穷的对象使用排中律。

1917 年至 1920 年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。

在 1919 年的《直觉主义的集合论》，布劳威尔指出他早期的拓扑学研究从直觉主义观点来看是不正确的。

拓扑学 (topology) 是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科，它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

在大约 1920 年后，他向外界发布了这些成果，这显然是对希尔伯特的挑战。

康托创立集合论，是基于解决微积分的逻辑基础问题，为了使微积分里面采用的无穷小概念有一个清晰的逻辑基础。

希尔伯特热忱地支持康托的集合论与无限数，他认为，为了加强数学的基础，支持康托的观念将是必要的。

而且希尔伯特在数学领域所做出的最具影响的贡献还是著名的几何基础和“23 个数学问题”，这里面都涉及到了拓扑学。

不嫌事大的是，外尔这时转变了立场。

外尔曾是希尔伯特的优秀学生，希尔伯特曾指望他成为一个忠实的追随者。

1921 年，外尔发表了一篇新文章解释他的新立场，说在某种程度上，希尔伯特的方法将所有的东西都简化成了一种游戏。

对于这种变故，希尔伯特看得很重。

开战

1922 年，希尔伯特终于按耐不住，要反击了。

他写了一篇针对布劳威尔和外尔两人的文章。

他写道：“杰出的，成就卓越的数学家外尔和布劳威尔正在通过肯定是错误的途径来寻找这些问题的解决方法。”

希尔伯特接着说：“外尔和布劳威尔所做的基本上是沿着以前克罗内克所走的路老路。抛弃所有令他们不快的现象，并按照克罗内克的方式建立专政来加以禁止，他们寻求通过这种方式来为数学树立基础，但这意味着肢解并毁坏我们的科学，如果我们追随这些革命者，我们将冒失去很大一批最宝贵财富的危险.……我相信，就像克罗内克在当年不能消除无理数一样，今天，外尔与布劳威尔也将行不通他们的计划。”

在文中，为了回应外尔和布劳威尔的抨击，他提出了经过修订的大胆的新方法，这个方法为形式主义的学派树立了一个更新更牢固的基础。

他在文中提出了对分析公理一致性的证明的大概想法：“把数论建立在数“1”和符号“+”的基础上，当我们用这种方法发展数论时，不需要公理，也不可能有任何矛盾产生。”

多年后，利用根岑的新方法，人们意识到希尔伯特的证明理论是一个极好而又有力的数学工具，对计算机科学尤其有帮助。

1928 年，布劳威尔对希尔伯特新方法回应道：“所有这些表明，形式主义从直觉主义那里没有直接接受任何东西，但却从中受到很多启发，而且它还有望受益更多。”因此，形式主义学派应该给直觉主义学派一些赞誉，而不是用轻蔑的语气攻击他，甚至提都不提作者的名字。

然而，希尔伯特并不是什么好茬，在一番反击后，并不愿意就此罢休，他决定开始攻击！

高潮

1914 年，布劳威尔被任命为备受欢迎的《数学年鉴》编辑部成员，这项任命是一个荣誉，也是对他在数学界里备受尊敬的表现。

从那以后，他谨慎并慢条斯理地为杂志工作着。

尽管如此，他的暴脾气还是给他带来麻烦了。

布劳威尔的天才是不容置疑，但对于他的性格，人们用愤世嫉俗，自私自利，神经过敏，情绪化和顽固这样的词来描述。

范·达伦写道：“布劳威尔是一个神经过敏的人，压力之下。他很容易夸大事实。”

当时克莱因是杂志的主编之一，地位堪称主编之首，但他决定辞职了，其原因是和布劳威尔发生了争执。

在这场争执上，布劳威尔实际上是对的，但他表现得太粗鲁了，克莱因决定引退。

在克莱因引退后，希尔伯特接手了他大部分的工作。

克莱因的引退对布劳威尔来说是很不幸的，用今天的话来说，他只能称为助理编辑，而他的死对头希尔伯特却是主编之一。

看到这里，我表示真是细思极恐！果不其然……

在 1928 年 10 月底之前不久，布劳威尔收到了一封来自希尔伯特的辞退信。

这给布劳威尔打击很大，他把这个突然而来的辞退当作一种直接而重大的侮辱。

随后，他写信给他的同事，声称这辞退信是希尔伯特在头脑不健全的时候发出的，是无效的。

对于布劳威尔来说，这是一个严重的错误，在那种情况下，正如布鲁门萨尔所说的，它会被看成是“可怕而惹人憎恶的信”。

在告知失败后，布劳威尔不屈不挠。

他接下来给希尔伯特夫人写信，请求她给丈夫吹吹枕边风，使其改变主意。但辗转得到的消息是：“在这件事情上，希尔伯特不受任何人的影响”。

同一天（11 月 5 日），布劳威尔在更大的范围向所有的编辑们倾诉，申明希尔伯特辞退他的理由根本不存在。

但除了爱因斯坦之外的编辑们都表明了鲜明的立场，怕是无法回天了。

于是，布劳威尔和一位普通的编辑比贝尔巴赫一起到柏林拜见出版商斯普林格。

他们发出警告说，如果辞退信被执行，《年鉴》和斯普林格出版社的利益都会受损，因为布劳威尔要创建一个竞争性的杂志。

然而斯普林格并不在意这种威胁。

但这事还没完，布劳威尔在想：如果爱因斯坦站在我这边，或许事情还有转机。

可惜的是……

爱因斯坦回信说：“很遗憾，我像一只无知的羔羊甩入了数学的“狼群”……因此，请允许我保持我的“既不嘘又不呸”的态度，也请允许我扮演一个对他们的行为感到不可思议的角色。”

这算是断了布劳威尔的退路，但他仍不放弃。

他请来律师，给编辑们发了一封信。信里指责希尔伯特在《年鉴》编辑部的“侵占”行为，这破坏了大家对希尔伯特的信任。

在此信之后，布劳威尔来了最后一击：一封长信。

信中谈了他对为什么他不应该被解雇的基本看法，包括对克莱因事件的另一种解释。

但这些努力都无济于事……

最后辞退生效了。

很显然，希尔伯特赢了。

这件事对布劳威尔的伤害很大，以至于他把希尔伯特看成“我的敌人”。

有一次聚会，同为客人的范德瓦尔登称希尔伯特是他的朋友，布劳威尔愤而起身离开。

在这场战争中，真是令人不禁唏嘘！

看来数学家也不过是普通人一个，也会有纷争，嫉妒，争强！